[woody]

So. Die Erleuchtung kam mir heute Nacht. Wavelets scheinen mir ideal zu sein, um das Zeitliche Verhalten eines Lautsprechers darzustellen.
Die Mathematik dahinter empfinde ich als sehr unübersichtlich dargestellt (vgl. wen juckt die laut Mathematikern essentielle Orthogonalität der Fourier-Sinuse?)

Hier eine einfach formulierte Herangehensweise.
Nehmen wir einmal an, wir kennen die Impulsantwort eine Lautsprechers. Diese kann man der Methode nach Prof. Farina exzellent und präzise bestimmen. Damit können wir die Reaktion des Lautsprechers auf ein beliebiges Eingangssignal berechnen, indem wir z.b. im Zeitbereich das Signal mit der Impulsantwort falten.
Die Idee der Waveletanalyse ist nun, dies für eine gewisse Anzahl geeigneter Signale zu tun.

Was heißt geeignet?
Betrachtet man ein beliebiges Signal im Zeitbereich kann man exakt festlegen, wann es beginnt und endet, aber nicht, wann es wo welche Frequenz hat. Wende ich die FT an, geht jegliche zeitliche Information verloren, aber ich kann ganz genau sagen welche Frequenzen auftauchen.

Noch näher an das Dilemma (wer sich auskennt reicht schon die Unschärferelation) kommt man mit der Short-Time-FT. Ich schneide mir aus dem Signal ein zeitlich begrenztes Stück heraus und berechne die FT. Danach verschiebe ich mein Zeitfenster auf dem Signal und berechne erneut. Will ich zeitpräzise werden, mache ich das Fenster immer kleiner - die Frequenzauflösung sinkt. Will ich frequenzpräzise werden, mache ich das Fenster lang - die Zeitinformation sinkt.

Wir haben es also mit einer Unschärferelation zu tun. Diese gilt es auszureizen.
Das leisten Wavelets, da sie sowohl eine definierte Frequenz haben als auch Anfang und Ende bekannt sind.

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Aus [1] habe ich eine sehr schöne Darstellung entnommen. Man sieht Wavelets mit verschiedener Frequenz aber gleicher zeitlicher Länge. Zudem ist ihre Einhüllende (bzw. das Fenster) gezeichnet.



Die Einhüllende kann man auch in dB umrechnen und als Intensitätsplot zeichnen.



Man erkennt schon, dass wenn man das Diagramm an einer gedachten "mitten durchs Rote" laufenden Linie (=das jeweilige eintreffen des Energiemaximums) halbiert, dreht und dreidimensional darstellt, ein Wasserfalldiagramm entsteht.

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Es gibt schon bestehende Implementierungen in der LS-Messechnik, daher habe ich mal in [2] geschaut, wie das dort gemacht wird:



Offensichtlich bleibt die Periodenanzahl der Wavelets konstant, daher werden sie mit zunehmender Frequenz "kürzer" (und werden nach links und rechts mit Nullen aufgefüllt). Das macht Sinn, denn damit kann man für jede Frequenz sagen, wieviele Perioden der Lautsprecher nachschwingt.

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Ebenfalls aus [2] stammt die erste Messung:



Die krumme "mitten durchs Rote"-Linie repräsentiert den nicht linearen Phasengang des vermessenen LS.

Diesen Intensitätsplot kann man auch in einen klassischen Wasserfall umrechnen, in dem man:

• Die Daten für jede Frequenz so ausrichtet, dass die Linie wieder eine Gerade ergibt (zeitliche Verschiebung)
  
• Die Daten für jede Frequenz so staucht, dass eine einheitliche Periodenskala entsteht
  
• Man zeichnet dann den Wasserfall nicht von "links nach rechts", sondern "von hinten nach vorn"
  

Eine solche Darstellung habe ich aus [3] kopiert:



Oder auch aus [4]:

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Fazit: Wavelets scheinen mir bestens geeignet, um die maximale zeitfrequenz-Information aus dem linearen Teil der Impulsantwort eines LS auszuschlachten.

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Quellen:

• [1] WTF!? Wavelet TransForm for audio measurements - What-is? and How-to?
  
• [2] Time-Frequency Characterization of Loudspeaker Responses Using Wavelet Analysis (AES-Paper)
  
• [3] Frequency Response: Waterfalls
  
• [4] Eine alternative Methode zur Berechnung des kumulativen Zerfallsspektrums
  

Ihr seht schon: für eine Software, die man so zusammenbasteln kann Geld zu verlangen grenzt an eine Sauerei