29.11.2011, 11:45 PM
Für alle Wissenden: ich habe mich bewusst um die Worte "Faltung" und "orthonormal" rumgemogelt 
(2) Mathe
(2.1) Komplexe Zahlen
Eine Reelle Zahl stellt einen genau definierten Wert auf einem Zahlenstrahl dar.
Eine komplexe Zahl dagegen ist ein Punkt in einem 2-Dim. Koordinatensystem. Allerdings bezeichnet man die Position des Punktes auf der x-Achse nun mit "Realteil" und die Position auf der y-Achse als "Imaginärteil".
Einen Punkt in einem 2-Dim-Koosys. kann man zusätzlich zu der Angabe in (x|y) auch noch über einen Winkel und Radius exakt angeben. (vgl. Polarkoordinaten)
Diese Darstellung wird auch häufig gebraucht. Den Radius nennt man nun Betrag und den Winkel Phase, oder Argument.
(2.2) Imaginäre Einheit
Was ich jetzt verschwiegen hatte: zu einer Komplexen Zahl gehört auch noch die sog. "Imaginäre Einheit".
Die Definition lautet einfach j = sqrt(-1).
Eine Komplexe Zahl sieht demnach wie folgt aus: z = a + b*j, wobei a den Realteil, und b den Imaginärteil darstellt.
Aufgabe: wie würde die Zahl 1 + 2*j in Polardarstellung aussehen?
(2.3) Dirac-Impuls / Delta-Distribution
Der Dirac-Impuls d(t) ist ein einmaliger, unendlich schmaler Impuls, der dennoch mit der x-Achse die Fläche 1 einschließt. Bitte Wikipedia um genauere Infos bemühen.
(3)Systemtheorie
(3.1) Grundlegendes
Wir arbeiten mit Linearen, Zeitinvarianten Systemen. Das heißt die Übertragungsfunktion hat nur lineare Anteile (z.B. Integration, Multiplikation mit Konstante, Totzeit,...).
Wenn wir zum Zeitpunkt t=1 ein Signal in unser System einspeisen, reagiert es genauso auf dieses Signal, wie zum Zeitpunkt t=0.
"Signale" und "Systeme" sind hier theoretische Begriffe, die dasselbe bezeichnen. Eine nähere Erläuterung oder Herleitung zu diesem Sachverhalt wäre nicht zielführend.
Daher betrachten wir hier jetzt hier der Einfachheit halber Signal einmal ausschließlich als Spannungsverlauf über der Zeit.
Entweder können wir diesen nun analytisch beschreiben z.B.: y(t)=sin(w*t + p), oder wir haben (und das ist beim RTA der Fall) eine Reihe an Messwerten vorliegen, die durch Abtastung des Signals in festen Zeitintervallen zustande gekommen sind.
(3.2) Signalsynthese
Es lässt sich Mathematisch zeigen, dass sich ein jedes Signal durch Überlagerung von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz, Amplitude und Phase "synthetisieren" lässt. Man nennt dies auch "Fourier-Synthese".
(3.3) Signalanalyse (analytisch)
Möchte man nun ein gegebenes Signal wieder in seine sinusförmigen Anteile zu zerlegen, benötigt man die Fourier-Transformation.
Dabei handelt es sich um eine sog. "Integraltransformation". Sprich eine komplizierte Mathematische Operation, die ich auf mein analytisches Signal anwende. (wie z.b. eine Ableitung, nur hässlicher)
Die Transformation ist umkehrbar - es geht in keine Richtung Information verloren. Man spricht dann von einer Rüktransformation.
Nochmal zur Erinnerung: mein Analytisches Signal ist eine reellwertige Funktion der Zeit, z.B:
[red]y(t)=sin(2*pi*50*t) + 0,5 * cos(2*pi*100*t). [/red]
Wenn ich darauf nun die Fourier-Trafo loslasse, ändert sich folgendes:
-ich erhalte eine neue, komplexwertige Funktion Y(f) (die "Fourier-Transformierte von y(t)" oder einfach "Spektrum")
-die Zeitachse wandelt sich in eine Frequenzachse. Man sagt dazu auch Frequenz- oder Bildbereich.
-es gibt negative Frequenzen, die aber nur das gespiegelte der positiven Frequenzen sind (hier ist keine zusätzliche Information enthalten)
-> als Schaubild dargestellt würde man sagen: Das Schaubild ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse
-Die x-Achse kann man nicht mehr genau Spezifizieren, da man schlecht komplexe Zahlen, die wie schon gesagt in ein eigenes Koo-Sys. gehören, auf einer Achse darstellen kann.
Daher stellt man meist das Quadrat des Betrages der komplexen Zahlen (welches Proportional zur im Signal enthaltenen Energie der zugehörigen Frequenz ist) über der Frequenz dar.
Also:
x-Achse: Betragsquadrat
y-Achse: Frequenz
Das Ergebnis wäre hier:
[red]Y(f) = (j/2)*(d(f+50) + d(f-50)) + (1/4)*(d(f+100) - d(f-100))[/red]
Man sieht, dass nur Dirac-Pulse (= vertikale Linien) bei -100,-50,50,100 Hz auftauchen, was ja auch unserer Vermutung entspricht.
Ein periodisches Signal liefert immer ein solches Linienspektrum, während ein aperiodisches Signal ein kontinuierliches Spektrum besitzt.
ideales weißes Rauschen und ein Dirac-Stoß (im Zeitbereich!) haben ein unendlich langes, geradlinig-kontinuierliches Spektrum. D.h.: sie beinhalten alle möglichen Frequenzen.
(3.4) Signalanalyse (wie mache ich das im Rechner)
Was unter 3.3 steht ist ja alles wunderbar, lässt sich aber keinesfalls in einem Rechner implementieren.
Aber es gibt Abhilfe: die "Diskrete Fourier-Trafo". Das ist ein numerisches Verfahren (arbeitet also mit Zahlen) und kann damit
von einem Rechner abgearbeitet werden. Hier werden n diskrete, abgetastete Werte als "Eingabe" erwartet und heraus kommen wieder n komplexwertige und frequenzabhängige Werte.
Auch die DFT hat einen Nachteil: sie ist verdammt langsam. Aber es gibt zum Glück einen Speziellen Algorithmus, die Fast-Fourier-Transform, oder FFT, die alle Probleme beseitigt
Auch hier bietet es sich wieder an, die Betragsquadrate über der Frequenz dazustellen. (im RTA im 3. Tab zu finden - die THD-Messung einfach ignorieren)
(3.5) Übertragungsfunktion
Wir stellen uns nun ein technisches System, z.B. einen Verstärker, vor, der mit einem Signal u(t) am Eingang gespeist wird und mit einem Signal y(t) am Ausgang "antwortet".
War das Eingangssignal nun ein Dirac-Puls (den es in der Realität nicht gibt), könnten wir am Ausgang gerade die Impulsantwort des Verstärkers messen.
Würden wir diese nun per FFT in den Frequenzbereich überführen, hätten wir nach Definition die Übertragungsfunktion ermittelt.
Da aber ein Dirac-Impuls nunmal nicht zu erzeugen ist, geht man einen anderen Weg. Wie schon erwähnt, besteht auch weißes Rauchen aus unendlich vielen Frequenzen.
Dieses nimmt man nun als u(t), und misst wieder y(t).
dividiert man nun Y(f) durch U(f) (hier elementweise, da die Werte ja diskret vorliegen), erhält man direkt die Übertragungsfunktion.
Betrachten wir nun die Beträge der einzelnen Elemente der ÜF über der Frequenz, sehen wir den "Amplitudenfrequenzgang", bei den Argumenten sehen wir den "Phasenfrequenzgang".
Ein Problem gibt es aber doch: enthält unser Testsystem eine Totzeit (z.B. die Entfernung von LS zu Messmikro) wird man einen stetig fallenden Phasengang messen können.
Eine durch Rücktransformation errechnete Impulsantwort wäre ebenfalls falsch. Die Lösung ist, die Verzögerung im Vorfeld zu vermessen und eins der beiden Signale vor dem dividieren entsprechend in der Zeit zu verschieben.
(2) Mathe
(2.1) Komplexe Zahlen
Eine Reelle Zahl stellt einen genau definierten Wert auf einem Zahlenstrahl dar.
Eine komplexe Zahl dagegen ist ein Punkt in einem 2-Dim. Koordinatensystem. Allerdings bezeichnet man die Position des Punktes auf der x-Achse nun mit "Realteil" und die Position auf der y-Achse als "Imaginärteil".
Einen Punkt in einem 2-Dim-Koosys. kann man zusätzlich zu der Angabe in (x|y) auch noch über einen Winkel und Radius exakt angeben. (vgl. Polarkoordinaten)
Diese Darstellung wird auch häufig gebraucht. Den Radius nennt man nun Betrag und den Winkel Phase, oder Argument.
(2.2) Imaginäre Einheit
Was ich jetzt verschwiegen hatte: zu einer Komplexen Zahl gehört auch noch die sog. "Imaginäre Einheit".
Die Definition lautet einfach j = sqrt(-1).
Eine Komplexe Zahl sieht demnach wie folgt aus: z = a + b*j, wobei a den Realteil, und b den Imaginärteil darstellt.
Aufgabe: wie würde die Zahl 1 + 2*j in Polardarstellung aussehen?
(2.3) Dirac-Impuls / Delta-Distribution
Der Dirac-Impuls d(t) ist ein einmaliger, unendlich schmaler Impuls, der dennoch mit der x-Achse die Fläche 1 einschließt. Bitte Wikipedia um genauere Infos bemühen.
(3)Systemtheorie
(3.1) Grundlegendes
Wir arbeiten mit Linearen, Zeitinvarianten Systemen. Das heißt die Übertragungsfunktion hat nur lineare Anteile (z.B. Integration, Multiplikation mit Konstante, Totzeit,...).
Wenn wir zum Zeitpunkt t=1 ein Signal in unser System einspeisen, reagiert es genauso auf dieses Signal, wie zum Zeitpunkt t=0.
"Signale" und "Systeme" sind hier theoretische Begriffe, die dasselbe bezeichnen. Eine nähere Erläuterung oder Herleitung zu diesem Sachverhalt wäre nicht zielführend.
Daher betrachten wir hier jetzt hier der Einfachheit halber Signal einmal ausschließlich als Spannungsverlauf über der Zeit.
Entweder können wir diesen nun analytisch beschreiben z.B.: y(t)=sin(w*t + p), oder wir haben (und das ist beim RTA der Fall) eine Reihe an Messwerten vorliegen, die durch Abtastung des Signals in festen Zeitintervallen zustande gekommen sind.
(3.2) Signalsynthese
Es lässt sich Mathematisch zeigen, dass sich ein jedes Signal durch Überlagerung von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz, Amplitude und Phase "synthetisieren" lässt. Man nennt dies auch "Fourier-Synthese".
(3.3) Signalanalyse (analytisch)
Möchte man nun ein gegebenes Signal wieder in seine sinusförmigen Anteile zu zerlegen, benötigt man die Fourier-Transformation.
Dabei handelt es sich um eine sog. "Integraltransformation". Sprich eine komplizierte Mathematische Operation, die ich auf mein analytisches Signal anwende. (wie z.b. eine Ableitung, nur hässlicher)
Die Transformation ist umkehrbar - es geht in keine Richtung Information verloren. Man spricht dann von einer Rüktransformation.
Nochmal zur Erinnerung: mein Analytisches Signal ist eine reellwertige Funktion der Zeit, z.B:
[red]y(t)=sin(2*pi*50*t) + 0,5 * cos(2*pi*100*t). [/red]
Wenn ich darauf nun die Fourier-Trafo loslasse, ändert sich folgendes:
-ich erhalte eine neue, komplexwertige Funktion Y(f) (die "Fourier-Transformierte von y(t)" oder einfach "Spektrum")
-die Zeitachse wandelt sich in eine Frequenzachse. Man sagt dazu auch Frequenz- oder Bildbereich.
-es gibt negative Frequenzen, die aber nur das gespiegelte der positiven Frequenzen sind (hier ist keine zusätzliche Information enthalten)
-> als Schaubild dargestellt würde man sagen: Das Schaubild ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse
-Die x-Achse kann man nicht mehr genau Spezifizieren, da man schlecht komplexe Zahlen, die wie schon gesagt in ein eigenes Koo-Sys. gehören, auf einer Achse darstellen kann.
Daher stellt man meist das Quadrat des Betrages der komplexen Zahlen (welches Proportional zur im Signal enthaltenen Energie der zugehörigen Frequenz ist) über der Frequenz dar.
Also:
x-Achse: Betragsquadrat
y-Achse: Frequenz
Das Ergebnis wäre hier:
[red]Y(f) = (j/2)*(d(f+50) + d(f-50)) + (1/4)*(d(f+100) - d(f-100))[/red]
Man sieht, dass nur Dirac-Pulse (= vertikale Linien) bei -100,-50,50,100 Hz auftauchen, was ja auch unserer Vermutung entspricht.
Ein periodisches Signal liefert immer ein solches Linienspektrum, während ein aperiodisches Signal ein kontinuierliches Spektrum besitzt.
ideales weißes Rauschen und ein Dirac-Stoß (im Zeitbereich!) haben ein unendlich langes, geradlinig-kontinuierliches Spektrum. D.h.: sie beinhalten alle möglichen Frequenzen.
(3.4) Signalanalyse (wie mache ich das im Rechner)
Was unter 3.3 steht ist ja alles wunderbar, lässt sich aber keinesfalls in einem Rechner implementieren.
Aber es gibt Abhilfe: die "Diskrete Fourier-Trafo". Das ist ein numerisches Verfahren (arbeitet also mit Zahlen) und kann damit
von einem Rechner abgearbeitet werden. Hier werden n diskrete, abgetastete Werte als "Eingabe" erwartet und heraus kommen wieder n komplexwertige und frequenzabhängige Werte.
Auch die DFT hat einen Nachteil: sie ist verdammt langsam. Aber es gibt zum Glück einen Speziellen Algorithmus, die Fast-Fourier-Transform, oder FFT, die alle Probleme beseitigt
Auch hier bietet es sich wieder an, die Betragsquadrate über der Frequenz dazustellen. (im RTA im 3. Tab zu finden - die THD-Messung einfach ignorieren)
(3.5) Übertragungsfunktion
Wir stellen uns nun ein technisches System, z.B. einen Verstärker, vor, der mit einem Signal u(t) am Eingang gespeist wird und mit einem Signal y(t) am Ausgang "antwortet".
War das Eingangssignal nun ein Dirac-Puls (den es in der Realität nicht gibt), könnten wir am Ausgang gerade die Impulsantwort des Verstärkers messen.
Würden wir diese nun per FFT in den Frequenzbereich überführen, hätten wir nach Definition die Übertragungsfunktion ermittelt.
Da aber ein Dirac-Impuls nunmal nicht zu erzeugen ist, geht man einen anderen Weg. Wie schon erwähnt, besteht auch weißes Rauchen aus unendlich vielen Frequenzen.
Dieses nimmt man nun als u(t), und misst wieder y(t).
dividiert man nun Y(f) durch U(f) (hier elementweise, da die Werte ja diskret vorliegen), erhält man direkt die Übertragungsfunktion.
Betrachten wir nun die Beträge der einzelnen Elemente der ÜF über der Frequenz, sehen wir den "Amplitudenfrequenzgang", bei den Argumenten sehen wir den "Phasenfrequenzgang".
Ein Problem gibt es aber doch: enthält unser Testsystem eine Totzeit (z.B. die Entfernung von LS zu Messmikro) wird man einen stetig fallenden Phasengang messen können.
Eine durch Rücktransformation errechnete Impulsantwort wäre ebenfalls falsch. Die Lösung ist, die Verzögerung im Vorfeld zu vermessen und eins der beiden Signale vor dem dividieren entsprechend in der Zeit zu verschieben.
Pffffffffft. "Da entwich das Vakuum" - Heinrich Physik, 1857.